Question

下列幾個命題，其中正確的命題有

①④

．（填寫所有正確命題的序號）
①函數y=log₂（x-3）+2的圖象可由y=log₂x的圖象向上平移2個單位，向右平移3個單位得到；
②函數f(x)=

2x-3

x+1

的圖象關于點（1，2）成中心對稱；
③在區間（0，+∞）上函數y=x

1

2

的圖象始終在函數y=x的圖象上方；
④任一函數圖象與垂直于x軸的直線都不可能有兩個交點．

Answer 1

分析：①利用函數圖象平移變換理論即可判斷①的真假；②先將函數化為復合函數形式，再利用基本函數圖象的性質通過平移變換找其對稱中心；③由于兩函數有兩個明顯的交點，可判斷在兩交點之間，函數y=x

1

2

的圖象始終在函數y=x的圖象下方；④利用函數的定義，即一個x只能有一個y值與之對應，可判斷④的真假

解答：解：①將y=log₂x的圖象向上平移2個單位，得到y=log₂x+2的圖象，再將所得圖象向右平移3個單位得到y=log₂（x-3）+2的圖象，故①正確；
②函數f(x)=

2x-3

x+1

=

2(x+1)-5

x+1

=2-

5

x+1

，此函數是由反比例函數y=-

5

x

向左平移一個單位，再向上平移2個單位得到的，由反比例函數的對稱中心為（0，0）知，此函數的對稱中心為（-1，2），故②錯誤；
③∵點（0，0），（1，1）是函數y=x

1

2

的圖象與函數y=x的圖象的兩個交點，且

2

＜

1

2

，故③錯誤；
④由函數的定義，對于定義域內的任意一個x，由唯一的一個函數值與其對應，故任一函數圖象與垂直于x軸的直線都不可能有兩個交點．④正確
故答案為①④

點評：本題 考查了函數圖象的平移變換理論及其應用，反比例函數及其復合函數的對稱中心位置，函數圖象的交點與位置關系的判斷，函數的定義，命題真假的判斷方法