Question

已知數列a_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，用數學歸納法證明S_n=（n+1）a_n-n．

Answer 1

分析：先驗證當n=1時成立，然后假設當n=k時成立來證明當n=k+1時成立．這里變換S_k+1=S_k+a_k+1、a_k=ak+1-

1

k+1

代入即可證明．

解答：證明：當n=1時，a₁=1
S₁=a₁=1滿足條件
假設當n=k，（k＞1，k∈N）時S_k=（k+1）a_k-k成立
當n=k+1時，
∵a_k=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

-

1

k+1

=ak+1-

1

k+1

則S_k+1=S_k+a_k+1=（k+1）a_k-k+a_k+1=（k+1）（ak+1-

1

k+1

）-k+a_k+1
=（k+1）a_k+1-1-k+a_k+1=（k+2）a_k+1-（1+k）
從而S_n=（n+1）a_n-n成立．
得證．

點評：本題主要考查數列求出和數學歸納法．數學歸納法是一種證明題常用的方法，尤其是證明比較復雜的式子成立時，能夠顯現其優越性．