Question

已知點A（m，4）（m＞0）在拋物線x²=4y上，過點A作傾斜角互補的兩條直線l₁和l₂，且l₁，l₂與拋物線另一個交點分別為B、C．
（I）求證：直線BC的斜率為定值；
（II）若拋物線上存在兩點關于直線BC對稱，求|BC|的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據點A（m，4）（m＞0）在拋物線x²=4y上，確定A的坐標，設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用k_AB+k_AC=0，kBC=

x1+x2

4

，即可得解；
（II）設直線BC的方程為y=-2x+b，P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）關于直線BC對稱，確定PQ中點M的坐標，利用M在拋物線內部，確定b的范圍，進一步計算|BC|，即可得到結論．

解答：（I）證明：∵點A（m，4）（m＞0）在拋物線x²=4y上，∴m=4
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則k_AB+k_AC=

x1+4

4

+

x2+4

4

=0
∴x₁+x₂=-8
∴kBC=

x1+x2

4

=-2
∴直線BC的斜率為定值-2；
（II）解：設直線BC的方程為y=-2x+b，P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）關于直線BC對稱，
設PQ中點M（x₀，y₀），則kPQ=

x3+x4

4

=

x0

2

=

1

2

，
∴x₀=1，故M（1，-2+b）
∵M在拋物線內部，
∴-2+b＞

1

4

，解得b＞

9

4

y=-2x+b代入拋物線可得x²+8x-4b=0，
∴x₃+x₄=-8，x₃x₄=-4b
∴|BC|=

1+4

|x3-x4|=

5

×

64+16b

＞10

5

∴|BC|的取值范圍為（10

5

，+∞）．

點評：本題考查直線的斜率，考查點關于直線的對稱性，解題的關鍵是正確求斜率，利用弦長公式計算弦長，屬于中檔題．