Question

已知函數是奇函數，且．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）用定義證明函數f（x）在（0，1）上的單調性．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數，所以對定義域內的任意x，都有∴f（-x）=-f（x），
即（2分）
整理得q+3x=-q+3x，所以q=0．又因為，
所以，解得p=2．
故所求解析式為．（6分）
（Ⅱ）由（1）得．
設0＜x₁＜x₂＜1，則．（10分）
因為0＜x₁＜x₂＜1，所以0＜x₁x₂＜1，x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
從而得到f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數f（x）在（0，1）上是增函數．（14分）
分析：（Ⅰ）求函數f（x）的解析式可根據函數是奇函數得出等式f（-x）=-f（x），及建立方程，兩者聯立可求出函數的解析式．
（Ⅱ）用定義證明函數f（x）在（0，1）上的單調性，要設0＜x₁＜x₂＜1，再f（x₁）-f（x₂）的符號，依據定義判斷出結論即可．
點評：本題 考查函數奇偶性的性質，利用函數的奇偶性建立方程求參數，這是奇偶性的一個重要應用，做對本題的關鍵是根據定義轉化出正確的方程，利用定義法證明單調性時，要注意做題格式，及判號時要嚴謹．