Question

【題目】已知橢圓上一點與橢圓右焦點的連線垂直于x軸，直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(均不在坐標軸上)．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設O為坐標原點，若△AOB的面積為，試判斷直線OA與OB的斜率之積是否為定值？若是請求出，若不是請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值

【解析】

(1)根據條件，代入已知點，和a,b,c的關系式，解得參數值，進而得到橢圓方程；（2）聯立直線和橢圓方程得到二次方程，由三角形的面積得到4k2＋3－2m2＝0，kOA·kOB=，根據韋達定理得到結果即可.

(1)由題意知解得

∴橢圓C的標準方程為＋＝1．

(2)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

由Δ＝(8km)2－16(4k2＋3)(m2－3)＞0，得m2＜4k2＋3．

∵x1＋x2＝，x1x2＝，

∴S△OAB＝|m||x1－x2|＝|m|·＝，

化簡得4k2＋3－2m2＝0，滿足Δ＞0，從而有4k2－m2＝m2－3(*)，

∴kOA·kOB＝＝ ＝

＝，由(*)式，得＝1，

∴kOA·kOB＝－，即直線OA與OB的斜率之積為定值－．