Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個極值點，，且至少存在兩個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先求得,分別討論與的情況,令,則或,討論與及的關系,進而求解即可；

（2）由（1）可得當時,有兩個極值點,且至少存在兩個零點,可得極值點為和,則可得,由,設,進而求解的范圍即可

解：（1）由題,的定義域為,

,

當時,,則當時,,當時,,所以在上單調遞減,在上單調遞增；

當時,令,得或,

當時,,所以在上單調遞減,在上單調遞增；

當時,即時,所以在上單調遞減,在上單調遞增,在上單調遞減；

當時,在上恒成立,所以在上單調遞減；

當時,,所以在上單調遞減,在上單調遞增,在上單調遞減

（2）由（1）知,因為有兩個極值點,,

所以或,

因為,所以不合題意；

因為時,在上單調遞減,在上單調遞增,在上單調遞減,

所以即,

解得,

此時,

記,則,

因為,所以,所以在區間上單調遞減,

所以,解得,

所以,的取值范圍為