Question

已知函數，其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在原點處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當a=1時，先對函數求導，然后求出 f'（0），即取消在原點處的切線斜率，可求得曲線y=f（x）在原點處的切線方程
（Ⅱ）先對函數求導，然后根據導數的符號可判斷函數的單調區間
（III）由（Ⅱ）中函數的單調區間，可求出函數的最值取得的條件，然后可求a的范圍
解答：（Ⅰ）解：當a=1時，，．    …（2分）
由 f'（0）=2，得曲線y=f（x）在原點處的切線方程是2x-y=0．…（3分）
（Ⅱ）解：對函數求導可得，                          …（4分）
①當a=0時，．
所以f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減．          …（5分）
當a≠0，．
②當a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=-a，，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的單調減區間是（-∞，-a），；單調增區間是．  …（7分）
③當a＜0時，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的單調增區間是；單調減區間是，（-a，+∞）．…（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，a=0時不合題意．                       …（10分）
當a＞0時，由（Ⅱ）得，f（x）在單調遞增，在單調遞減，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最大值．
設x為f（x）的零點，易知，且．從而x＞x時，f（x）＞0；x＜x時，f（x）＜0．
若f（x）在[0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1．
所以a＞0時，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范圍是（0，1]．…（12分）
當a＜0時，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，-a）單調遞減，在（-a，+∞）單調遞增，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（-a）=-1．
若f（x）在[0，+∞）上存在最大值，必有f（0）≥0，解得a≥1，或a≤-1．
所以a＜0時，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范圍是（-∞，-1]．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-1]∪（0，1]．                    …（14分）
點評：本題主要考查了函數的導數的幾何意義的應用，導數在函數的單調區間及函數的最值求解中的應用，屬于中檔試題