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精英家教網如圖直角梯形OABC中,∠COA=∠OAB=
π
2
,OC=2,OA=AB=1,SO⊥平面OABC,SO=1,以OC、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系O-xyz.
(1)求
SC
OB
的夾角α
的大小(用反三角函數表示);
(2)設
n
=(1,p,q),滿足
n
⊥平面SBC,求:
n
的坐標;
②OA與平面SBC的夾角β(用反三角函數表示);
③O到平面SBC的距離.
(3)設
k
=(1,r,s)滿足
k
SC
k
OB
.填寫:

k
的坐標為
 

②異面直線SC、OB的距離為
 
.(注:(3)只要求寫出答案)
分析:(I)根據已知中,∠COA=∠OAB=
π
2
,OC=2,OA=AB=1,SO⊥平面OABC,SO=1,我們求出各頂點的坐標,進而求出向量
SC
OB
坐標,代入向量夾角公式,即可得到結論.
(II)①由已知中得向量
n
=(1,p,q)為平面SBC的法向量,根據法向量根平面內任一個向量均垂直,數量積均為0,構造方程組,即可求出
n
的坐標;②A與平面SBC的夾角β與OA的方向向量與
n
的夾角互余,求出OA的方向向量,代入即可得到結論;
(III)①根據兩向量垂直數量積為0,構造關于r,s的方程組,解方程組求出r,s,代入即可求出
k
的坐標;②由(I)中直線SC、OB的夾角,結合四面體S-OBC的體積,根據V=
1
6
•SC•OB•sinθ
•d,(其中θ為兩條異面直線夾角,d為兩條異面直線的夾角),即可得到答案.
解答:解:(Ⅰ)如圖所示:
C(2,0,0),S(0,0,1),O(0,0,0),B(1,1,0)
SC
=(2,0,-1),
OB
=(1,1,0)

cos<
SC
,
OB
>=
2
5
2
=
10
5
,α=arccos
10
5
(4分)
(Ⅱ)①
SB
=(1,1,-1),
CB
=(-1,1,0)∵
n
⊥SBC
n
SB
,
n
CB
,∴
n
SB
=1+p-q=0

n
CB
=-1+p=0,解得:p=1,q=2
,∴
n
=(1,1,2)
(7分)
②過O作OE⊥BC于E,則BC⊥面SOE,∴SOE⊥SAB又兩面交于SE,過O作OH⊥SE于H,則OH⊥SBC,延長OA與CB交于F,則OF=2
連FH,則∠OFH為所求
又OE=
2
,∴SE=
3
OH=
SO•OE
SE
=
1•
2
3
=
6
3
,
sinβ=
6
3
2
=
6
6

β=arcsin
6
6
(10分)

③由題設條件可得∠OBC是直角,可得出CB⊥面SOB,故CB⊥SB
又在直角三角形SOB內,可求得SB=
3
,在梯形OABC內,可求得BC=
2
,于是可得S△SBC=
6
2

又由題設條件得VS-OBC=
1
3
×
1
2
×1×2×1
=
1
3

故由等體積法可得點O到面SBC的距離為
1
3
1
3
×
6
2
=
6
3

(III)
k
的坐標為
(1,-1,2);OH=
6
3
(14分).
點評:本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角,用空間向量求直線間夾角、距離,其中熟練掌握兩個向量垂直,數量積為0,及向量夾角公式是解答本題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖直角梯形OABC位于平面直角坐標系中,其中OC=1,BC=1,OA=2,動點P從C出發沿折線段CBA運動到A(包括端點),設點P的橫坐標為x,函數f(x)=
OP
PA

(1)求函數y=f(x)的解析式;
(2)出函數y=f(x)的草圖,并求f(x)的單調遞增區間;
(3)若函數y=f(x)-c有零點,求c的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖直角梯形OABC中,,SO=1,以OC、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系O-xyz.

         (Ⅰ)求的大。ㄓ梅慈呛瘮当硎荆

         (Ⅱ)設

         ①

         ②OA與平面SBC的夾角(用反三角函數表示);

         ③O到平面SBC的距離.

         (Ⅲ)設

         ①           

         ②異面直線SC、OB的距離為               .

(注:(Ⅲ)只要求寫出答案).

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖直角梯形OABC中,,SO=1,以OC、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系O-xyz.

         (Ⅰ)求的大。ㄓ梅慈呛瘮当硎荆

         (Ⅱ)設

         ①

         ②OA與平面SBC的夾角(用反三角函數表示);

         ③O到平面SBC的距離.

         (Ⅲ)設

         ①           

         ②異面直線SC、OB的距離為               .

(注:(Ⅲ)只要求寫出答案).

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科目:高中數學 來源:2013屆廣東省珠海市高二2月月考理科數學 題型:解答題

.如圖直角梯形OABC中,

SO=1,以OC、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系O-xyz.

(Ⅰ)求的余弦值;

(Ⅱ)設

②設OA與平面SBC所成的角為,求

 

 

 

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