Question

已知橢圓C：的兩個焦點是F₁(c,0)，F₂(c，0)(c>0)。

(I)若直線與橢圓C有公共點，求的取值范圍；

(II)設E是(I)中直線與橢圓的一個公共點，求|EF₁|+|EF₂|取得最小值時，橢圓的方程；

(III)已知斜率為k(k≠0)的直線l與(II)中橢圓交于不同的兩點A，B，點Q滿足    且，其中N為橢圓的下頂點，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(I) .（II）.（III）直線縱截距的范圍是.

【解析】

試題分析：(I)由題意聯立方程組

由得，

根據，即可得到的取值范圍是.

（II）由橢圓的定義得,

及，得到當時，有最小值，確定得到橢圓的方程的方程.

（III）設直線方程為，

通過聯立 ,整理得到一元二次方程，設，

應用韋達定理，結合得為的中點， ，得到，可建立的方程， 從而由得到使問題得解.

試題解析：(I)由題意知.

由得，

所以，解得，

所以求的取值范圍是.

（II）由橢圓的定義得,

因為，所以當時，有最小值，

此時橢圓的方程的方程為.

（III）設直線方程為，

由整理得，

化簡得

設

則

由得為的中點，所以

因為，所以

即，化簡得

又，

所以

又，所以

.

考點：橢圓的定義、標準方程，直線與橢圓的位置關系.