Question

（理科）已知函數f（x）=xlnx．
（1）若存在x∈[

1

e

，e]，使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求實數a的取值范圍；
（2）設0＜a＜b，證明：f(a)+f(b)-2f(

a+b

2

)＞0．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）=xlnx代入不等式2f（x）≥-x²+ax-3，將不等式變形為a≤

2f(x)+x2+3

x

=2lnx+x+

3

x

，令g(x)=2lnx+x+

3

x

，將存在x∈[

1

e

，e]，使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，轉化為a≤g（x）_max，求出g′（x），利用導數求出函數g（x）在x∈[

1

e

，e]上的最大值，從而可以求得實數a的取值范圍；
（2）求出f′（x），令F(x)=f(a)+f(x)-2f(

a+x

2

)，求出F′（x），利用函數的單調性求出當x=a時，F（x）的最小值0，再根據b＞a，即可確定F（b）＞F（a），從而證得f(a)+f(b)-2f(

a+b

2

)＞0．

解答：解：（1）∵函數f（x）=xlnx，
∴2f（x）≥-x²+ax-3可變形為a≤

2f(x)+x2+3

x

=2lnx+x+

3

x

，
∴存在x∈[

1

e

，e]，使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，即a≤g（x）_max，
令g(x)=2lnx+x+

3

x

，
∴g′(x)=

2

x

+1-

3

x2

=

(x-1)(x+3)

x2

，
∴當x∈(

1

e

，1)時，g'（x）＜0，當x∈（1，e）時，g'（x）＞0，
∴g（x）在[

1

e

，1)上單調遞減，g（x）在（1，e]上單調遞增，
∴g（x）的最大值只能在x=

1

e

或x=e處取得，
∵g(

1

e

)=3e+

1

e

-2，g(e)=e+2+

1

e

，
∴g(

1

e

)＞g(e)，
∴g(x)max=3e+

1

e

-2，
∴a≤3e+

1

e

-2；
（2）∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，
令F(x)=f(a)+f(x)-2f(

a+x

2

)，
∴F′(x)=f′(x)-f′(

a+x

2

)=lnx-ln

a+x

2

，
當0＜x＜a時，F'（x）＜0，當a＜x時，F'（x）＞0，
∴F（x）在（0，a）上為減函數，F（x）在（a，+∞）上為增函數，
∴當x=a時，F（x）_min=F（a）=0，
∵b＞a，
∴F（b）＞F（a），
∴f(a)+f(b)-2f(

a+b

2

)＞0．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，對于利用導數研究函數的單調性，注意導數的正負對應著函數的單調性．利用導數研究函數問題時，經常會運用分類討論的數學思想方法．還考查了利用導數研究函數在閉區間上的最值，一般是求出導函數對應方程的根，然后求出跟對應的函數值，區間端點的函數值，然后比較大小即可得到函數在閉區間上的最值．同時考查了函數的恒成立問題，對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．屬于難題．