Question

設F為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，點A在拋物線上，O為坐標原點，若∠OFA=120°，且

FO

•

FA

=-8，則拋物線的焦點到準線的距離等于

4

．

Answer 1

分析：先根據拋物線方程求得焦點坐標，利用向量條件，進而可得|

FA

|=

32

p

，再結合拋物線的定義可求得p，進而根據拋物線的性質求得拋物線的焦點到準線的距離．

解答：解：由y²=2px知焦點坐標為F（

p

2

，0）．
|

FO

|=

p

2

，
∵

FO

•

FA

=-8，
∴|

FO

|•|

FA

|cos∠OFA=-8，
即

p

2

•|

FA

|(-

1

2

)=-8，
∴|

FA

|=

32

p

①
又∠BFA=∠OFA-90°=30°，
過A作準線的垂線AC，過F作AC的垂線，垂足分別為C，B．如圖，
A點到準線的距離為：d=|AB|+|BC|=p+

32

p

×

1

2

，
根據拋物線的定義得：
d=|

FA

|=p +

32

p

×

1

2

②
由①②解得p=4，
則拋物線的焦點到準線的距離等于4
故答案為 4．

點評：本題主要考查了直線與拋物線的關系、平面向量數量積的運算．當涉及拋物線的焦點弦的問題時，常利用拋物線的定義來解決．