Question

（本題滿分12分）

已知動圓過點，且與圓相內切．

   （1）求動圓的圓心的軌跡方程；

   （2）設直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點，D，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）圓， 圓心的坐標為，半徑．

∵，∴點在圓內．        

設動圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，

即．                                             

∴圓心的軌跡是中心在原點，以兩點為焦點，長軸長為的橢圓,設其方程為

,  則．∴．

∴所求動圓的圓心的軌跡方程為．…………………………………4分

 （2）由 消去化簡整理得：

設，，則……………………………………6分

△． ①

由 消去化簡整理得：．

設，則,

△． ② ……………………………………8分

∵，∴，即，

∴．∴或．

解得或……… 10分                                                                  

當時,由①、②得  ，

∵Z,，∴的值為 ，，;

當，由①、②得  ，

∵Z,，∴．

∴滿足條件的直線共有9條．………………………………………………12分

【解析】略