Question

設實數a≠0，且函數f(x)＝a(x²＋1)－(2x＋)有最小值－1．

(1)求a的值；

(2)設數列{a_n}的前n項和S_n＝f(n)，令b_n＝，證明數列{b_n}是等差數列．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：f(x)＝a(x－)2＋a－， 　　由題設知f()＝a－＝－1，且a＞0， 　　解得a＝1或a＝－2(舍去)． 　　(2)證明：由(1)得f(x)＝x2－2x， 　　當Sn＝n2－2n，a1＝S1＝－1． 　　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－3． 　　a1滿足上式，即an＝2n－3． 　　∴數列{an}是首項為－1，公差為2的等差數列． 　　∴a2＋a4＋…＋a2n＝＝n(2n－1)， 　　即bn＝＝2n－1． 　　∴bn+1－bn＝2(n＋1)－1－2n＋1＝2． 　　又b1＝＝1， 　　∴{bn}是以1為首，2為公差的等差數列．