Question

（2012•懷柔區二模）對于給定數列{c_n}，如果存在實常數p，q使得c_n+1=pc_n+q對于任意n∈N^*都成立，我們稱數列{c_n}是“T數列”．
（Ⅰ）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，數列{a_n}、{b_n}是否為“T數列”？若是，指出它對應的實常數p，q，若不是，請說明理由；
（Ⅱ）證明：若數列{a_n}是“T數列”，則數列{a_n+a_n+1}也是“T數列”；
（Ⅲ）若數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t為常數．求數列{a_n}前2013項的和．

Answer 1

分析：（I）根據“T數列”的定義加以驗證，可得{a_n}是“T數列”，對應的實常數分別為1和2；數列{b_n}也是“T數列”，對應的實常數分別為2和0；
（II）若數列{a_n}是“T數列”，則存在實常數p、q，滿足a_n+1=pa_n+q、a_n+2=pa_n+1+q對于任意n∈N^*都成立，兩式對應相加即可證出數列{a_n+a_n+1}也是“T數列”，對應的實常數分別為p、2q；
（III）根據等式a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），分別取n=2、4、…、2012，得到1006個等式．而S₂₀₁₃=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₀+a₂₀₁₁）+（a₂₀₁₂+a₂₀₁₃），將a₁=2和前面1006個等式代入，結合等比數列求和公式即可算出數列{a_n}前2013項的和的表達式．

解答：解：（Ⅰ）因為a_n=2n，則有a_n+1=2n+2=1×a_n+2（n∈N^*），
所以數列{a_n}是“T數列”，對應的實常數分別為1和2．
因為b_n=3•2ⁿ，則有b_n+1=3•2ⁿ⁺¹=2×3•2ⁿ⁺¹=2b_n （n∈N^*），
所以數列{b_n}是“T數列”，對應的實常數分別為2和0---（4分）
（Ⅱ）若數列{a_n}是“T數列”，則存在實常數p、q，
使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q對于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對于任意n∈N^*都成立，故數列{a_n+a_n+1}也是“T數列”．
對應的實常數分別為p、2q．---------------------（8分）
（Ⅲ）因為 a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），
則有a₂+a₃=3t•2²，a₄+a₅=3t•2³，…，a₂₀₁₀+a₂₀₁₁=3t•2²⁰¹⁰，a₂₀₁₂+a₂₀₁₃=3t•2²⁰¹²．
故數列{a_n}的前2013項的和
S₂₀₁₃=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₀+a₂₀₁₁）+（a₂₀₁₂+a₂₀₁₃）
=2+3t•2²+3t•2⁴+…+3t•2²⁰¹⁰+3t•2²⁰¹²=2+3t•

4(1-41006)

1-4

=2+t（2²⁰¹⁴-4）．---------（13分）

點評：本題給出“T數列”，要我們驗證兩個數列是否為“T數列”，并根據題意求數列{a_n}的前2013項的和．著重考查了數列的遞推公式和等比數列前n項和的公式等知識，考查了轉化化歸與函數方程的思想，屬于中檔題．