Question

已知函數f（x）=ax³+x²-ax（a，x∈R）．
（1）當a=1時，求函數f（x）的極值；
（2）若f（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，試求a的取值或取值范圍；
（3）設函數h(x)=

1

3

f′(x)+(2a+

1

3

)x-

8

3

a+1，x∈（-1，b]，（b＞-1），如果存在a∈（-∞，-1]，對任意x∈（-1，b]都有h（x）≥0成立，試求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導數，確定函數的單調性，可得函數的極值；
（2）若f（x）在區間[0，+∞）上是單調遞增函數，則f'（x）在區間[0，+∞）內恒大于或等于零，由此可求a的取值；
（3）存在a∈（-∞，-1]，對任意x∈（-1，b]（b＞-1）都有h（x）≥0成立，等價于h（x）≥h（-1）在區間[-1，b]上恒成立，即（x+1）[ax²+（2a+1）x+（1-3a）]≥0，進而分類討論，即可求得結論．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x³+x²-x，∴f′（x）=3x²+2x-1，
令f′（x）=0，則x1=

1

3

，x₂=-1，…（2分）
x、f′（x）和f（x）的變化情況如下表

x	（-∞，-1）	-1	(-1， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值f（-1）=1	↘	極小值f( 1 3 )=- 5 27	↗

即函數的極大值為1，極小值為-

5

27

；                       …（5分）
（2）f'（x）=3ax²+2x-a，
若f（x）在區間[0，+∞）上是單調遞增函數，則f'（x）在區間[0，+∞）內恒大于或等于零，
若a＜0，二次函數圖象開口向下，不可能在[0，+∞）上單調遞增；
若a=0，則f（x）=x²符合條件；
若a＞0，則由二次函數f'（x）=3ax²+2x-a的性質知

- 2 3a ＜0 f(0)=-a＞0

，即

a＞0 a＜0

，這也不可能，
綜上可知，當且僅當a=0時，f（x）在區間[0，+∞）上單調遞增；     …（10分）
（3）由f'（x）=3ax²+2x-a，h(x)=

1

3

f′(x)+(2a+

1

3

)x-

8

3

a+1，
∴h（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），x∈（-1，b]，（b＞-1），
當-1＜x≤b時，令ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0，…①，
由a∈（-∞，-1]，∴h（x）的圖象是開口向下的拋物線，
故它在閉區間上的最小值必在區間端點處取得，…（11分）
又h（-1）=-4a＞0，
∴不等式①恒成立的充要條件是h（b）≥0，即ab²+（2a+1）b+（1-3a）≥0，
∵b＞-1，∴b+1＞0，且a＜0，∴

b2+2b-3

b+1

≤-

1

a

，
依題意這一關于a的不等式在區間（-∞，-1]上有解，
∴

b2+2b-3

b+1

≤(-

1

a

)max，即

b2+2b-3

b+1

≤1，b²+b-4≤0，
∴

-1- 17

2

≤b≤

-1+ 17

2

，又b＞-1，故-1＜b≤

-1+ 17

2

，
從而bmax=

-1+ 17

2

．                     …（14分）

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想，屬于中檔題．