Question

在直線y=x-2上是否存在點P，使得經過點P能作出拋物線的兩條互相垂直的切線？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：假設這樣的點P存在，由題意可設點P坐標為P（m，m-2），又設所作的兩條切線為PA，PB，其中A，B為切點，且點A，B的坐標分別為：，．因為函數的導函數為y'=x，所以由兩切線垂直可得ab=-1，由此能夠推導出存在這樣的點P，其坐標為．
解答：解：假設這樣的點P存在，由題意可設點P坐標為P（m，m-2），又設所作的兩條切線為PA，PB，其中A，B為切點，且點A，B的坐標分別為：，．
因為函數的導函數為y'=x，
所以由兩切線垂直可得ab=-1，
且：即，．
故a，b是方程x²-2mx+2（m-2）=0的兩實數根，
從而有：ab=2（m-2）=-1．解得：．
所以，存在這樣的點P，其坐標為．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓、橢圓的相關知識．