Question

（本題滿分14分）已知函數f (x) = ax+ －3ln x．

(1) 當a = 2時，求f (x) 的最小值；

(2) 若f (x)在[1，e]上為單調函數，求實數a的取值范圍．

 

 

Answer 1

【答案】

5－ln2,a≤ 時，f (x) 在[1，e]上為單調函數

【解析】解：(1) 當a = 2時，f (x) = 2x+ －3lnx

    f ' (x) = 2－－=

   令 f ' (x) = 0得x = 2或－（∵x>0，舍去負值）

x	(0，2)	2	(2，+ ¥)
f ' (x)	－	0	+
f (x)	↘	5－ln2	↗

   ∴ 當a = 2時，函數 f (x) 的最小值為5－ln2．          ……………6分

(2)∵ f ' (x) = ，

   令 h(x) = ax ²－3x－a = a(x－)²－，

   要使f (x)在[1，e]上為單調函數，只需f ' (x)在(1，e)內滿足：f ' (x) ≥ 0或

   f ' (x) ≤ 0恒成立，且等號只在孤立點取得．

   ∵ h (1) = －3<0

   ∴ h (e) = ae²－3e－a≤0

   ∴a≤

① 當0≤a≤ 時，f ' (x) ≤ 0恒成立

② 當a < 0時，x=  Ï [1,e], ∴h(x)<0 (x Î [ 1, e])

   ∴ f ' (x) <0, 符合題意．

   綜上可知，當a≤ 時，f (x) 在[1，e]上為單調函數．    ……………14分