Question

已知數列{a_n}滿足：a1=

1

2

，an+1=an2+an，用[x]表示不超過x的最大整數，則[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2012+1

]的值等于

1

．

Answer 1

分析：由題意說明數列的項為正，化簡數列遞推關系式為

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，求出 [

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2012+1

]的范圍，即可求出表達式的最大整數．

解答：解：∵a1=

1

2

，an+1=an2+an＞0，所以數列是增數列，并且

1

an

＞0，
則

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，
∴[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2012+1

]
=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

a2011

-

1

a2012

=

1

a1

-

1

a2012

＜

1

a1

=2，
又∵a₁=

1

2

，a₂=

3

4

，a₃=

16

21

，
∴

1

a1+1

+

1

a2+1

=

2

3

+

4

7

＞1．
∴[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2012+1

]∈（1，2）．
∴[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2012+1

]=1．
故答案為：1

點評：本題考查數列的遞推關系式的應用，新定義的應用，確定表達式的取值范圍是解題的關鍵，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用．