Question

已知函數f(x)=alnx+

1

2

x2-(1+a)x(x＞0)，其中a為實數．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）≥0對定義域內的任意x恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）證明：對任意的正整數m，n，不等式

1

ln(m+1)

+

1

ln(m+2)

+…+

1

ln(m+n)

＞

n

m(m+n)

恒成立．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=alnx+

1

2

x2-(1+a)x(x＞0)，得f′(x)=

a

x

+x-(1+a)，x＞0，由此根據a的取值范圍進行分類討論，能求出函數f（x）的單調區間．
（2）由于f（1）=-

1

2

-a，當a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對定義域內的任意x不是恒成立的．當a≤0時，由（1）得f（x）在區間（0，+∞）上取得最小值為f（1）=-

1

2

-a，由此能求出實數a的取值范圍．
（3）由（2）知，當a=-

1

2

時，f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x2-

1

2

x≥0，當且僅當x=1時，等號成立，這個不等式等價于lnx≤x²-x．由此能夠證明對任意的正整數m，n，不等式

1

ln(m+1)

+

1

ln(m+2)

+…+

1

ln(m+n)

＞

n

m(m+n)

恒成立．

解答：解：（1）∵f(x)=alnx+

1

2

x2-(1+a)x(x＞0)，
∴f′(x)=

a

x

+x-(1+a)，x＞0，
①當a≤0時，若0＜x＜1，則f′（x）＜0，
故函數f（x）的單調減區間是（0，1）；
若x＞1，則f′（x）＞0，故函數f（x）的增區間是（1，+∞）．
②當0＜a＜1時，函數f（x）的單調減區間是（a，1）；
單調增區間是（0，a），（1，+∞）．
③當a=1時，則f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，
故函數f（x）的單調增區間是（0，+∞）；
④當a＞1時，函數f（x）的單調遞減區間是（1，a）；
函數f（x）的單調遞增區間是（0，1），（a，+∞）．
（2）由于f（1）=-

1

2

-a，
當a＞0時，f（1）＜0，
此時f（x）≥0對定義域內的任意x不是恒成立的．
當a≤0時，由（1）得f（x）在區間（0，+∞）上的極小值，也是最小值為f（1）=-

1

2

-a，
此時，f（1）≥0，解得a≤-

1

2

，
故實數a的取值范圍是（-∞，-

1

2

）．
（3）由（2）知，當a=-

1

2

時，
f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x2-

1

2

x≥0，當且僅當x=1時，等號成立，
這個不等式等價于lnx≤x²-x．
當x＞1時，變換為

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

x(x-1)

=

1

x-1

-

1

x

，
在上面的不等式中，
令x=m+1，m+2，…，m+n，則有

1

ln(m+1)

+

1

ln(m+2)

+…+

1

ln(m+n)

＞(

1

m

-

1

m+1

)+(

1

m+1

-

1

m+2

)+…+(

1

m+n-1

-

1

m+n

)，
即對任意的正整數m，n，不等式

1

ln(m+1)

+

1

ln(m+2)

+…+

1

ln(m+n)

＞

n

m(m+n)

恒成立．

點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查實數的取值范圍的求法，考查不等式恒成立的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的性質和分類討論思想的靈活運用．