Question

已知數列{a_n}的前n項為和S_n，點(n，)在直線y＝x＋上．數列{b_n}滿足b_n+2－2b_n+1＋b_n＝0(n∈N^*)，且b₃＝11，前9項和為153．

(Ⅰ)求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；

(Ⅱ)設f(n)＝，問是否存在m∈N^*，使得f(m＋15)＝5f(m)成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由題意，得＝n＋，即Sn＝n2＋n．　1分 　　故當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝n＋5．　3分 　　當n＝1時，a1＝Sl＝6，所以，an＝n＋5(n∈N*)．　4分 　　又bn+1－2bn+1＋bn＝0，即bn+2－bn+l＝bn+1－bn(n∈N*)， 　　所以{bn}為等差數列，　5分 　　于是＝153． 　　而b3＝11，故b7＝23，d＝．　7分 　　因此，bn＝b3＋3(n－3)＝3n＋2，即bn＝3n＋2(n∈N*)．　8分 　　(Ⅱ)f(n)＝　9分 　�、佼攎為奇數時，m＋15為偶數． 　　此時f(m＋15)＝3(m＋15)＋2＝3m＋47，5f(m)＝5(m＋5)＝5m＋25， 　　所以3m＋47＝5m＋25，m＝11．　1分 　�、诋攎為偶數時，m＋15為奇數， 　　此時f(m＋15)＝m＋15＋5＝m＋20，5f(m)＝5(3m＋2)＝15m＋10， 　　所以m＋20＝15m＋10，m＝N*(舍去)．　13分 　　綜上，存在唯一正整數m＝11，使得f(m＋15)＝5f(m)成立．　14分