Question

長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,已知AB=a,BC=b,AA₁=c,且a＞b,求:

(1)下列異面直線之間的距離:AB與CC₁;AB與A₁C₁;AB與B₁C.

(2)異面直線D₁B與AC所成角的余弦值.

Answer 1

(1)解:BC為異面直線AB與CC₁的公垂線段,故AB與CC₁的距離為b.

    AA₁為異面直線AB與A₁C₁的公垂線段,故AB與A₁C₁的距離為c.過B作BE⊥B₁C,垂足為E,則BE為異面直線AB與B₁C的公垂線,BE==,即AB與B₁C的距離為.

(2)解法一:連結BD交AC于點O,取DD₁的中點F,連結OF、AF,則OF∥D₁B,∴∠AOF就是異面直線D₁B與AC所成的角.

    ∵AO=,OF=BD₁=,AF=,

    ∴在△AOF中,cos∠AOF==.

    解法二:如下圖,在原長方體的右側補上一個同樣的長方體,連結BG、D₁G,則AC∥BG,

    ∴∠D₁BG(或其補角)為D₁B與AC所成的角.

    BD₁=,BG=,D₁G=,

    在△D₁BG中,cos∠D₁BG==-,

故所求的余弦值為.