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已知a、b是不全為0的實數，求證：方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）內一定有實根.

證明見解析


解析:

證明  若a=0時，則b≠0，

此時方程的根為x=，滿足題意.

當a≠0時，令f（x）=3ax2+2bx-（a+b）.

（1）若a(a+b)＜0,

則f（0）·f（）=-（a+b）·(-a)=a（a+b）＜0，

所以f（x）在區間(0,內有一實根.

（2）若a（a+b）≥0，

則f(f（1）=(-)（2a+b）

=-a2-a（a+b）＜0，

所以f（x）在區間(，1）內有一實根.

綜上所述，方程3ax2+2bx-(a+b)=0在（0，1）內一定有實根.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知a，b，c，d是不全為零的實數，函數f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．方程f（x）=0有實數根，且f（x）=0的實數根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的實數根都是f（x）=0的根．
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范圍；
（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題中，其中假命題為
①③
①③
（填上序號即可）
①“若x、y全為0，則xy=0”的否命題；
②已知P?x+y≠4，Q?x≠1或y≠3，則P是Q成立的充分不必要條件；
③“已知a、b表示直線，M表示平面，α⊥M，若b∥M，則b⊥a”的逆命題；
④若命題p的否命題是r，命題r的逆命題為s，則s是p的逆否命題t的否命題．

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科目：高中數學 來源：2007年普通高等學校招生全國統一考試、數學(江蘇卷) 題型：044

已知a，b，c，d是不全為0的實數，函數f(x)＝bx2＋cx＋d，g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，方程f(x)＝0有實根，且f(x)＝0的實數根都是g(f(x))＝0的根，反之，g(f(x))＝0的實數根都是f(x)＝0的根，

(1)求d的值；

(2)若a＝0，求c的取值范圍；

(3)若a＝1，f(1)＝0，求c的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2007年普通高等學校招生全國統一考試江蘇卷數學 題型：044

已知a，b，c，d是不全為0的實數，函數f(x)＝bx2＋cx＋d，g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，方程f(x)＝0有實根，且f(x)＝0的實數根都是g(f(x))＝0的根，反之，g(f(x))＝0的實數根都是f(x)＝0的根，

(1)求d的值；

(2)若a＝0，求c的取值范圍；

(3)若a＝1，f(1)＝0，求c的取值范圍．

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