Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的右焦點為F2（1，0），點P（1， ）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過坐標原點O的兩條直線EF，MN分別與橢圓C交于E，F，M，N四點，且直線OE，OM的斜率之積為﹣ ，求證：四邊形EMFN的面積為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵為點 在橢圓C上，橢圓C的右焦點為F2（1，0），

則 ，解得 ，

∴橢圓C的方程為 ．

（2）解：當直線EM斜率存在時，設直線方程為l：y=kx+m，E（x1，y1），M（x2，y2），

聯立 得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0， ，

= ，

由 得 ，即2m2=2k2+1，

原點到直線EM的距離為 ，

∴

= =

=

= ，

∴ ．

當直線EM斜率不存在時， ，x1=x2，y1=﹣y2，∴ ，

又 ，解得 , ， ．

【解析】（1）由題意可得： ，解出即可得出．（2）當直線EM斜率存在時，設直線方程為l：y=kx+m，E（x1 ， y1），M（x2 ， y2），與橢圓方程聯立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，利用斜率計算公式、根與系數的關系及其 ，可得2m2=2k2+1，原點到直線EM的距離為 ，利用 ，代入化簡即可得出定值，斜率不存在時也成立．