Question

設函數f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）
（1）證明函數是偶函數；
（2）若方程f（x）=m有兩個根，試求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數f（x）的定義域關于原點對稱，且f（-x）=-f（x），可得函數f（x）是偶函數．
（2）由于-3≤x≤3，求出函數的值域，畫出函數的圖象，由函數f（x）的圖象和直線y=m有兩個交點，數形結合求出m的取值范圍．
解答：解：（1）證明：由于函數f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）
的定義域關于原點對稱，且f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f（x），
故函數f（x）是偶函數．
（2）由于-3≤x≤3，f（x）=x²-2|x|-1，
故當x=±1時，函數取得最小值為-2，
當x=±3時，函數取得最大值為2．
畫出函數f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）的圖象，如圖：
若方程f（x）=m有兩個根，則函數f（x）的圖象和直線y=m有兩個交點．
數形結合可得，m=-2，或 2≥m＞-1．
點評：本題主要考查函數的奇偶性的判斷和證明，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．