Question

已知函數y=f（x）的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且當x＞0時，f（x）＜0恒成立．
證明：
（1）函數y=f（x）是R上的減函數；
（2）函數y=f（x）是奇函數．

Answer 1

分析：（1）設x₁＞x₂，由已知可得f（x₁-x₂）＜0，再利用f（a+b）=f（a）+f（b）及減函數的定義即可證明．
（2）令a=b=0，則可得f（0）=0；再令a=x，b=-x，即可證明f（x）是奇函數．

解答：證明：（1）設x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＜0，
而f（a+b）=f（a）+f（b），
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
∴函數y=f（x）是R上的減函數；
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b）得f（x-x）=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=f（0），而令a=b=0可得f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），即函數y=f（x）是奇函數

點評：本題考查了抽象函數的奇偶性和單調性，深刻理解函數奇偶性和單調性的定義及充分利用已知條件是解決問題的關鍵．