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【題目】已知函數，，函數在點處的切線與函數相切.

（1）求函數的值域；

（2）求證：.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用導數求出曲線在點處的切線方程，與函數的解析式聯立，由可求得的值，然后利用二次函數的基本性質可求得函數的值域；

（2）要證明，即證，即證，求出函數的最小值，并利用導數求出函數的最大值，由此可得出結論.

（1）切點，，則，.

所以，函數在點處的切線方程為，即.

函數在點處的切線與函數相切.

聯立，化為，

，，解得.

，所以，函數的值域為；

（2）要證，即證，即證.

設，，則函數的定義域為.

，.

當時，，此時，函數單調遞增；

當時，，此時，函數單調遞減.

所以，函數的最大值為.

所以，，但是函數的最小值和函數的最大值不在同一處取得，

因此，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），F為拋物線C的焦點．以F為圓心，p為半徑作圓，與拋物線C在第一象限交點的橫坐標為2．

（1）求拋物線C的方程；

（2）直線y＝kx+1與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線l1，l2，設切線l1，l2的交點為P，求證：△PAB為直角三角形．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2016年春節期間全國流行在微信群里發搶紅包，現假設某人將688元發成手氣紅包50個，產生的手氣紅包頻數分布表如下：

金額分組

頻 數

3

9

17

11

8

2

（1）求產生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率；

（2）估計手氣紅包金額的平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；

（3）在這50個紅包組成的樣本中，將頻率視為概率．

①若紅包金額在區間內為最佳運氣手，求搶得紅包的某人恰好是最佳運氣手的概率；

②隨機抽取手氣紅包金額在內的兩名幸運者，設其手氣金額分別為，，求事件“”的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知離心率為的橢圓的短軸的兩個端點分別為、，為橢圓上異于、的動點，且的面積最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）射線與橢圓交于點，過點作傾斜角互補的兩條直線，它們與橢圓的另一個交點分別為點和點，求的面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）= （a∈R，e為自然對數的底數）

（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調區間；

（Ⅱ）若函數f（x）在 上無零點，求a的最小值；

（Ⅲ）若對任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學校近幾年來通過“書香校園”主題系列活動，倡導學生整本閱讀紙質課外書籍.下面的統計圖是該校2013年至2018年紙質書人均閱讀量的情況，根據統計圖提供的信息，下列推斷不合理的是（ ）

A.從2013年到2016年，該校紙質書人均閱讀量逐年增長

B.2013年至2018年，該校紙質書人均閱讀量的中位數是46.7本

C.2013年至2018年，該校紙質書人均閱讀量的極差是45.3本

D.2013年至2018年，該校后三年紙質書人均閱讀量總和是前三年紙質書人均閱讀量總和的2倍

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，PA∥CE，AB=CEPA，PA⊥平面ABCD.

（1）證明：PE⊥平面DBE；

（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（1）試比較與的大小.

（2）若函數的兩個零點分別為，，

①求的取值范圍；

②證明：.

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【題目】甲、乙兩位同學參加某個知識答題游戲節目，答題分兩輪，第一輪為“選題答題環節”第二輪為“輪流坐莊答題環節”.首先進行第一輪“選題答題環節”，答題規則是：每位同學各自從備選的5道不同題中隨機抽出3道題進行答題，答對一題加10分，答錯一題（不答視為答錯）減5分，已知甲能答對備選5道題中的每道題的概率都是，乙恰能答對備選5道題中的其中3道題；第一輪答題完畢后進行第二輪“輪流坐莊答題環節”，答題規則是：先確定一人坐莊答題，若答對，繼續答下一題…，直到答錯，則換人（換莊）答下一題…以此類推.例如若甲首先坐莊，則他答第1題，若答對繼續答第2題，如果第2題也答對，繼續答第3題，直到他答錯則換成乙坐莊開始答下一題，…直到乙答錯再換成甲坐莊答題，依次類推兩人共計答完20道題游戲結束，假設由第一輪答題得分期望高的同學在第二輪環節中最先開始作答，且記第道題也由該同學（最先答題的同學）作答的概率為（），其中，已知供甲乙回答的20道題中，甲，乙兩人答對其中每道題的概率都是，如果某位同學有機會答第道題且回答正確則該同學加10分，答錯（不答視為答錯）則減5分，甲乙答題相互獨立；兩輪答題完畢總得分高者勝出.回答下列問題

（1）請預測第二輪最先開始作答的是誰？并說明理由

（2）①求第二輪答題中，；

②求證為等比數列，并求（）的表達式.

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