Question

如圖，四棱錐的底面是矩形，，且側面是正三角形，平面平面，

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）在棱上是否存在一點，使得二面角的大小為45°.若存在，試求的值，若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

見解析.

【解析】（1）根據題目特點建立空間直角坐標系，然后利用數量積等于0證明兩向量垂直即證兩直線垂直；（2）利用待定系數法設出點的坐標，然后把二面角的問題轉化為平面法向量的夾角問題

解：取中點，則由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面.以為原點，建立空間直角坐標系（如圖）.則2分

（Ⅰ）證明：∵

……………………………………………………………………4分

∴，

∴，即.…………………………………6分

（Ⅱ）假設在棱上存在一點，不妨設

，

則點的坐標為，……………………………8分

∴

設是平面的法向量，則

不妨取，則得到平面的一個法向量.………10分

又面的法向量可以是

要使二面角的大小等于45°，

則45°=

可解得，即

故在棱上存在點，當時，使得二面角的大小等于45°. 12分