Question

(22)已知a＞0,數列{a_n}滿足a₁=a,a_n+1=a+,n=1,2,…

(Ⅰ)已知數列{a_n}極限存在且大于零,求A=a_n(將A用a表示);

(Ⅱ)設b_n=a_n－A,n=1,2,…,證明:b_n+1=－;

(Ⅲ)若|b_n|≤,對n=1,2,…都成立,求a的取值范圍.

Answer 1

(22)本小題主要考查數列、數列極限的概念和數學歸納法,考查靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力.

解：

(Ⅰ)由a_n存在,

且A=a_n(A＞0),對a_n+1=a+兩邊取極限得.

A=a+.解得A=.又A＞0,∴A=.

    (Ⅱ)由a_n=b_n+A,a_n+1=a+得b_n+1+A=a+,

 

∴b_n+1=a－A+=－+=－.

即b_n+1=－對n=1,2,…都成立.

 

(Ⅲ)令|b₁|≤,得|a－(a+)|≤.

∴|(－a)|≤.∴－a≤1,解得a≥.

現證明當a≥時,|b_n|≤,對n=1,2,…都成立.

(ⅰ)當n=1時結論成立(已驗證).

(ⅱ)假設當n=k(k≥1)時結論成立,即|b_k|≤,那么

|b_k+1|=≤×.

故只需證明≤,

即證A|b_k+A|≥2對a≥成立.

由于A==，

而當a≥時，－a≤1,∴A≥2.

∴|b_k+A|≥A－|b_k|≥2－≥1,即A|b_k+A|≥2.

故當a≥時，|b_k+1|≤×=.

即n=k+1時結論成立.

根據(ⅰ)和(ⅱ)，可知結論對一切正整數都成立.

故|b_n|≤對n=1,2,…都成立的a的取值范圍為［，+∞).