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求證拋物線，以過焦點的弦為直徑的圓必與相切（用分析法證）．

證明見解析


解析:

證明：（如圖）作，垂直準線，取的中點，作垂直準線．

要證明以為直徑的圓與準線相切，只需證，

由拋物線的定義：，，

所以，

因此只需證．

根據梯形的中位線定理可知上式是成立的．

所以過焦點的弦為直徑的圓必與相切．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線y2=4x的焦點為F，其準線與x軸交于點M，過M作斜率為k的直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中點為P，AB的垂直平分線與x軸交于點E（x0，0）．
（1）求k的取值范圍；
（2）求證：x0＞3；
（3）△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形？若能，求此k的值；若不能，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線y2=4x的焦點為F，過F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M、N．
（1）求證：直線MN必過定點，并寫出此定點坐標；
（2）分別以AB和CD為直徑作圓，求兩圓相交弦中點H的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線P：x2=2py （p＞0）．
（Ⅰ）若拋物線上點M（m，2）到焦點F的距離為3．
（ⅰ）求拋物線P的方程；
（ⅱ）設拋物線P的準線與y軸的交點為E，過E作拋物線P的切線，求此切線方程；
（Ⅱ）設過焦點F的動直線l交拋物線于A，B兩點，連接AO，BO并延長分別交拋物線的準線于C，D兩點，求證：以CD為直徑的圓過焦點F．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
α 2
+
y 2
α2-1
=1(a＞1)的左右焦點為F1，F2，拋物線C：y2=2px以F2為焦點且與橢圓相交于點M，直線F1M與拋物線C相切．
（Ⅰ）求拋物線C的方程和點M的坐標；
（Ⅱ）過F2作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB、DE，設弦AB、DE的中點分別為F、N，求證直線FN恒過定點．

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