Question

(本題滿分15分)

已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點(，)．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 設不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，求△OPQ面積的取值范圍．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 解：由題意可設橢圓方程為  (a＞b＞0)，

則    故

所以，橢圓方程為 ．     ……………………………4分

(Ⅱ) 解：由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，

故可設直線l的方程為 y＝kx＋m (m≠0)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

由 消去y得

(1＋4k²)x²＋8kmx＋4(m²－1)＝0，

則Δ＝64 k²b²－16(1＋4k²b²)(b²－1)＝16(4k²－m²＋1)＞0，

且，．          ……………………7分

故 y₁ y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²．

因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，

所以 ＝＝k²，……………………9分

即 ＋m²＝0，又m≠0，

所以 k²＝，即 k＝．        …………………11分

由于直線OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得

0＜m²＜2 且 m²≠1．…………………12分

設d為點O到直線l的距離，

則 S_△OPQ＝d | PQ |＝| x₁－x₂ | | m |＝，…………………13分

所以 S_△OPQ的取值范圍為 (0，1)．     ……………………………15分

 

【解析】略