Question

設數列{a_n}（n∈N^*）的前n項的和為S_n，滿足a₁=1，

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=

1

2n

（n∈N^*）．
（1）求證：S_n=（2-

1

2n-1

）a_n；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）通過累加法求出

Sn

an

的表達式，利用等比數列求出前n項和，推出結果．
（2）通過（1）說明的結果，利用求出S_n-S_n-1=a_n，n≥2，說明數列是等比數列，求出通項公式即可．

解答：解：（1）證明：數列{a_n}（n∈N^*）的前n項的和為S_n，滿足a₁=1，

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=

1

2n

（n∈N^*）．
所以

S2

a2

-

S1

a1

 =

1

2

，
 

S3

a3

-

S2

a2

=

1

4

；

S4

a4

-

S3

a3

=

1

8

；
…

Sn

an

-

Sn-1

an-1

=

1

2n-1

；
將n-1個式子相加可得：

Sn

an

-

S1

a1

=

1

2

+

1

22

+ 

1

23

+…+

1

2n-1

，
所以

Sn

an

=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

=

1- 1 2n-1

1- 1 2

=2-

1

2n-1

；
∴S_n=（2-

1

2n-1

）a_n；
（2）因為S_n=（2-

1

2n-1

）a_n；
所以S_n-1=（2-

1

2n-2

）a_n-1；（n≥2）
所以a_n=（2-

1

2n-1

）a_n-（2-

1

2n-2

）a_n-1；可得

1

2

an =an-1，
因為a₂=2，當n=1時，滿足數列{a_n}是等比數列公比為2．
所以a_n=2^n-1．

點評：本題是中檔題，考查數列的通項公式與數列的前n項和的求法，注意本題的解題的策略與方法，解決數列的常用方法．