Question

已知橢圓的準線平行于x軸，長軸長是短軸長的3倍，且過點（2，3）．
（Ⅰ）求橢圓的離心率； 
（Ⅱ）求橢圓的標準方程，并寫出準線方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設橢圓的方程是 =1，根據長軸長是短軸長的3倍，求出a與b，c與b的關系，求出橢圓的離心率； 
（II）設橢圓的方程是 =1，由題設，中心在坐標原點的橢圓過點（2，3），且它的長軸長是短軸長的3倍，故可以得兩個關于a，b，c的方程，解出參數就可得到橢圓的方程及準線方程．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓的方程是 =1，
∵長軸長是短軸長的3倍，
∴a=3b，
∴c==2b，
∴橢圓的離心率為：
（4分）
（Ⅱ）由題設，中心在坐標原點的橢圓過點（2，3），且a=3b，
∴=1，又a²=c²+b²
三式聯立可以解得a=3，b=，c=2，
故該橢圓的方程為：（6分），
準線：（2分）
點評：本題考查橢圓的幾何特征，利用幾何特征建立三個參數a，b，c的方程，求出參數，進而求出橢圓的方程．