Question

設定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足以下三個條件時稱f（x）為“友誼函數”：（1）對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；（2）f（1）=1；（3）若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，則下列判斷正確的有

①②③

．
①f（x）為“友誼函數”，則f（0）=0；
②函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上是“友誼函數”；
③若f（x）為“友誼函數”，且0≤x₁＜x₂≤1，則f（x₁）≤f（x₂）．

Answer 1

分析：①直接取x₁=x₂=0，利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）可得：f（0）≤0，再結合已知條件f（0）≥0即可求得f（0）=0；
②按照“友誼函數”的定義進行驗證；
③由0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁＜1，故有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），即得結論成立．

解答：解：①因為f（x）為“友誼函數”，
則取x₁=x₂=0，得f（0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，
又由f（0）≥0，得f（0）=0，故①正確；
②顯然g（x）=2^x-1在[0，1]上滿足：（1）g（x）≥0；（2）g（1）=1，
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
則有g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x1-1）（2x2-1）≥0，即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂），滿足（3）
故g（x）=2^x-1滿足條件（1）﹑（2）﹑（3），
所以g（x）=2^x-1為友誼函數．故②正確；
③因為0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁＜1，
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），
故有f（x₁）≤f（x₂）．故③正確；
故答案為：①②③．

點評：本題主要是在新定義下對抽象函數進行考查，在做關于新定義的題目時，一定要先研究定義，在理解定義的基礎上再做題．