Question

已知函數f（x）=

2

3

x+

1

2

，h（x）=

x

．
（Ⅰ）設函數F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²，求F（x）的單調區間與極值；
（Ⅱ）設a∈R，解關于x的方程lg[

3

2

f（x-1）-

3

4

]=2lgh（a-x）-2lgh（4-x）；
（Ⅲ）設n∈Nⁿ，證明：f（n）h（n）-[h（1）+h（2）+…+h（n）]≥

1

6

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出F（x）的解析式，求導，令導數大于0和小于0，分別求出單調增區間和減區間，從而可求極值．
（Ⅱ）將方程轉化為lg（x-1）+2lg

4-x

=2lg

a-x

，利用對數的運算法則，注意到真數大于0，轉化為等價的不等式，分離參數a，求解即可．
（Ⅲ）由已知得h（1）+h（2）+…+h（n）=

1

+

2

+…+

n

故原不等式轉化為f（n）h（n）-

1

6

=

4n+3

6

n

-

1

6

≥

1

+

2

+…+

n

注意到等式右側為數列{b_n}：b_n=

n

和的形式，將等式的左側也看作一個數列的前n項和的形式，
求出通項．問題轉化為證明項＞項的問題．可用做差法直接求解．

解答：解：（Ⅰ）F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²=-x³+12x+9（x≥0）
所以F′（x）=-3x²+12=0，x=±2
且x∈（0，2）時，F′（x）＞0，當x∈（2，+∞）時，F′（x）＜0
所以F（x）在（0，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減．
故x=2時，F（x）有極大值，且F（2）=-8+24+9=25
（Ⅱ）原方程變形為lg（x-1）+2lg

4-x

=2lg

a-x

?

x＞1 4-x＞0 a-x＞0 (x-1)(4-x)=a-x

?

1＜x＜4 x＜a a=-(x-3)2+5

（1）當1＜a＜4時，原方程有一解x=3-

a-5

（2）當4＜a＜5時，原方程有兩解x=3±

a-5

（3）當a=5時，原方程有一解x=3
（4）當a≤1或a＞5時，原方程無解．
（Ⅲ）由已知得h（1）+h（2）+…+h（n）=

1

+

2

+…+

n

f（n）h（n）-

1

6

=

4n+3

6

n

-

1

6

從而a₁=s₁=1
當k≥2時，a_n=s_n-s_n-1=

4k+3

6

k

-

4k-1

6

k-1

又an-

k

=

1

6

[(4k-3)

k

-(4k-1)

k-1

]
=

1

6

(4k-3)2-(4k-1)2(k-1)

(4k-3) k +(4k-1) k-1

=

1

6

1

(4k-3) k +(4k-1) k-1

＞0
即對任意的k≥2，有an＞

k

又因為a₁=1=

1

所以a₁+a₂+…+a_n≥

1

+

2

+…+

n

則s_n≥h（1）+h（2）+…+h（n），故原不等式成立．

點評：本題考查求函數的單調區間、極值、方程解的個數問題、不等式證明問題，綜合性強，難度較大．