Question

【題目】

如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點為曲線所在圓錐曲線的焦點；

（1）若，求曲線的方程；

（2）對于（1）中的曲線，若過點作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點A、B，求三角形的面積；

（3）如圖，若直線（不一定過）平行于曲線的漸近線，交曲線于點A、B，求證：弦AB的中點M必在曲線的另一條漸近線上．

Answer 1

【答案】（1）和；（2）（3）證明見解析；．

【解析】

（1）利用待定系數法求解；（2）寫出直線方程，與曲線方程聯立，利用弦長公式和點到直線的距離公式求弦長與高，再求三角形的面積；（3）寫出漸近線的方程與直線的方程，聯立直線與橢圓的方程，利用中點坐標公式寫出中點坐標，再驗證中點在另外一條漸近線上.

試題解析：

（1）

則曲線的方程為和．

（2），曲線的漸近線

設，

（3）曲線的漸近線為

如圖，設直線

則

又由數形結合知，

設點，

則，

，

，即點M在直線上．