Question

在極坐標系中若曲線ρ=1（θ∈[0，π]）與有兩個不同的交點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：如圖：在直角坐標系中，曲線ρ=1的方程為 x²+y²=1，y≥0，即y=x+b，當b=1時，直線和AB重合，由1=，可得b=，故當b=時，直線和半圓相切，從而求得實數b的取值范圍．
解答：解：在直角坐標系中，曲線ρ=1表示一個以原點為圓心，以1為半徑且位于x軸上方的半圓，方程為x²+y²=1，y≥0，
表示斜率等于1，在y軸上的截距為b的直線，方程為 y=x+b，如圖：A （1，0），B（0，1），C（1，1），
當b=1時，直線和AB重合，與半圓由兩個交點．根據直線和半圓相切，圓心到直線的距離等于半徑可得
 1=，可得b=，故當b=時，直線和半圓相切于點C，
故所求的實數b的取值范圍為 ，故答案為：．

點評：本題考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線和圓的位置關系，體現了數形結合的數學思想，求出當b=時，直線和半圓相切于點C，是解題的關鍵．