Question

（1）試作出函數的圖象；
（2）對每一個實數x，三個數-x，x，1-x²中最大者記為y，試判斷y是否是x的函數？若是，作出其圖象，討論其性質（包括定義域、值域、單調性、最值）；若不是，說明為什么？

Answer 1

解：（1）∵，∴f（x）為奇函數，
從而可以作出x＞0時f（x）的圖象，
又∵x＞0時，f（x）≥2，等號當且僅當x=1時取到
∴x=1時，f（x）的最小值為2，圖象最低點為（1，2），
又∵f（x）在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上是增函數，
同時隨著x的增大，f（x）與x的值越來越接近，即以y=x為漸近線，
于是x＞0時，函數的圖象應為下①，f（x）圖象為圖②：

（2）y是x的函數，作出g₁（x）=x，g₂（x）=-x，g₃（x）=1-x²的圖象可知，
f（x）的圖象是圖③中實線部分．定義域為R；值域為[1，+∞）；單
調增區間為[-1，0），[1，+∞）；單調減區間為（-∞，-1），[0，1）；
當x=±1時，函數有最小值1；函數無最大值．
分析：先作出x＞0時的f（x）的圖象，再根據其為奇函數的性質，作出對稱區間上的圖象；
點評：考查奇函數圖象的作法，分段函數圖象的作法，對作圖的準確性要求較高．