Question

設為a,b,c正數，記d為, , 中的最小數.

（1）求證：存在λ(0＜λ＜１＝，使得ｄ≤；．．．．．．（*）

（2）求出使不等式（*）成立的最小正數λ并給予證明.

Answer 1

解析：（1）由d的定義知，d≤，d≤，d≤.將這三個不等式相加，

得3d，即d≤，故可取λ＝.

(2)不妨設a≥b≥c.若b≤，則a≥2b－c＞0,且d＝.因此5d－＝

5≤5－＝≤0，即λ≤.

    若b＞,則a≤2b，且d＝.因此，＝＝＝≤0，故此時也有λ≤.

為了證明λ≥,我們取b＝，則d＝，此時有＝＝.由此可見,對于任意正數

λ＜，有＝＞，故只要ｃ＜，上式右邊就大于，因此必有≥.  綜上所述，可知滿足（*）的最小正數λ為