Question

求下列函數的最值
（1）x＞0時，求的最小值．
（2）設，求的最大值．
（3）若0＜x＜1，求y=x⁴（1-x²）的最大值．
（4）若a＞b＞0，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可為三個數的和，將變為，用基本不等式求出最小值．
（2）將函數變形f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3，令log₃x=t，轉化為二次函數解決．
（3）將原函數式化為y=x⁴（1-x²）=4×x²•x²（1-x²）后利用基本不等式求解即可．
（4）本題可為三個數的和，可進行變形a+=a-b+b+用基本不等式求出最小值．
解答：解：（1）y=，
=9，
當且僅當時，取等號，
∴函數的最小值為9．

（2）f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3
令log₃x=t，由，得，t∈[-2，3]
∴y=t²-2t-3，t∈[-2，3]
當t=-2或3時，y_max=5
（3）y=x⁴（1-x²）=4×x²•x²（1-x²）=，
故y=x⁴（1-x²）的最大值是．
（4）∵a＞b＞0
a+=a-b+b+≥3=3=3，
當且僅當a-b=b=時取等號．
故最大值為：3．
點評：本題考查基本不等式公式，此題主要考查求函數最值問題，在做題的時候不能只考慮研究函數圖象的方式求最值，需要多分析題目，對于特殊的函數可以用基本不等式直接求得最值．