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【題目】我國齊梁時代的數學家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.橢球體是橢圓繞其軸旋轉所成的旋轉體.如圖，將底面直徑都為，高皆為的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱放置于同一平面上，用平行于平面且與平面任意距離處的平面截這兩個幾何體，可橫截得到及兩截面.可以證明總成立.據此，半短軸長為1，半長軸長為3的橢球體的體積是_______．

【答案】

【解析】

數學家祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，根據這一原理，可以得到半橢球體的體積為，從而得到橢球體的體積，解決本題。

解：因為總成立

則半橢球體的體積為

所以，橢球體的體積為，

因為橢球體的半短軸長為1，半長軸長為3

所以，橢球體的體積為，

故答案是。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】數列中的項按順序可以排列成如圖的形式，第一行項，排；第二行項，從左到右分別排，；第三行項，……以此類推，設數列的前項和為，則滿足的最小正整數的值為（ ）

4,

4,43

4,43,4

4,43,4 , 4

…

A. B.

C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心是坐標原點，它的短軸長為，一個焦點為，一個定點，且，過點的直線與橢圓相交于兩點..

（1）求橢圓的方程及離心率.

（2）如果以為直徑的圓過原點，求直線的方程.

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【題目】已知函數f（x）＝ex﹣有兩個極值點．

（1）求實數a的取值范圍；

（2）若函數f（x）的兩個極值點分別為x1，x2，求證：x1+x2＞2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了調查一款電視機的使用時間，研究人員對該款電視機進行了相應的測試，將得到的數據統計如下圖所示：

并對不同年齡層的市民對這款電視機的購買意愿作出調查，得到的數據如下表所示：

愿意購買這款電視機

不愿意購買這款電視機

總計

40歲以上

800

1000

40歲以下

600

總計

1200

（1）根據圖中的數據，試估計該款電視機的平均使用時間；

（2）根據表中數據，判斷是否有99.9%的把握認為“愿意購買該款電視機”與“市民的年齡”有關；

（3）若按照電視機的使用時間進行分層抽樣，從使用時間在和的電視機中抽取5臺，再從這5臺中隨機抽取2臺進行配件檢測，求被抽取的2臺電視機的使用時間都在內的概率．

附：

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知為坐標原點，橢圓：的左、右焦點分別為，.過焦點且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為3，直線與橢圓相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在直線：與橢圓相交于兩點，使得？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由！

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某市場研究人員為了了解產業園引進的甲公司前期的經營狀況，對該公司2018年連續六個月的利潤進行了統計，并根據得到的數據繪制了相應的折線圖，如圖所示

（1）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月利潤（單位：百萬元）與月份代碼之間的關系，求關于的線性回歸方程，并預測該公司2019年3月份的利潤；

（2）甲公司新研制了一款產品，需要采購一批新型材料，現有，兩種型號的新型材料可供選擇，按規定每種新型材料最多可使用個月，但新材料的不穩定性會導致材料損壞的年限不相同，現對，兩種型號的新型材料對應的產品各件進行科學模擬測試，得到兩種新型材料使用壽命的頻數統計如下表：

使用壽命

材料類型

個月

個月

個月

個月

總計

如果你是甲公司的負責人，你會選擇采購哪款新型材料？

參考數據：，.參考公式：回歸直線方程為，其中 .

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖,正方形與梯形所在的平面互相垂直， ，,點在線段上.

(Ⅰ) 若點為的中點，求證：平面；

(Ⅱ) 求證：平面平面；

(Ⅲ) 當平面與平面所成二面角的余弦值為時，求的長.

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【題目】設有關于的一元二次方程．

（Ⅰ）若是從四個數中任取的一個數，是從三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率．

（Ⅱ）若是從區間任取的一個數，是從區間任取的一個數，求上述方程有實根的概率．

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