Question

如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：|PM|+|PN|=6．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若|PM|•|PN|=

2

1-cos∠MPN

，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）先根據題意求出a，b，c的值，再代入到橢圓方程的標準形式中，可得到答案．
（2）先將|PM|•|PN|=

2

1-cos∠MPN

轉化為|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|-2的形式，再由余弦定理得到|MN|²=|PM|²+|PN|²-2|PM|•|PN|cosMPN，二者聯立后再由點P在橢圓方程上可得到最后答案．

解答：解：（Ⅰ）由橢圓的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長2a=6的橢圓．
因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸b=

a2-c2

=

5

，
所以橢圓的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．

（Ⅱ）由|PM|•|PN|=

2

1-cosMPN

，得|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|-2．①
因為cosMPN≠1，P不為橢圓長軸頂點，故P、M、N構成三角形．
在△PMN中，|MN|=4，由余弦定理有|MN|²=|PM|²+|PN|²-2|PM|•|PN|cosMPN．②
將①代入②，得4²=|PM|²+|PN|²-2（|PM|•|PN|-2）．
故點P在以M、N為焦點，實軸長為2

3

的雙曲線

x2

3

-y2=1上．
由（Ⅰ）知，點P的坐標又滿足

x2

9

+

y2

5

=1，
所以由方程組

5x2+9y2=45 x2-3y2=3

解得

x=± 3 3 2 y=± 5 2 .

即P點坐標為(

3 3

2

，

5

2

)、(

3 3

2

，-

5

2

)、(-

3 3

2

，

5

2

)或(-

3 3

2

，-

5

2

)．

點評：本題主要考查橢圓的標準方程．橢圓的標準方程、離心率、第二定義、準線方程、a，b，c的基本關系等都是高考的考點，要熟練掌握．