Question

已知橢圓的離心率為，且經過點，圓的直徑為的長軸.如圖，是橢圓短軸端點，動直線過點且與圓交于兩點，垂直于交橢圓于點.

（1）求橢圓的方程；
（2）求 面積的最大值，并求此時直線的方程.

Answer 1

（1） （2）

解析試題分析：（1）已知橢圓的離心率為即可得到與的關系式,再結合橢圓過點,代入橢圓方程組成方程組可求解得到橢圓方程; （2） 要求面積可先求兩個弦長度,是一直線與圓相交得到的弦長,可采用圓的弦長公式,而是橢圓的弦長,使用公式求解,把面積表示成變量的函數, 求其最值時可用換元法求解.對當斜率為0時要單獨討論.
試題解析：（1）由已知得到,所以,即.
又橢圓經過點,故,
解得,
所以橢圓的方程是
（2）因為直線且都過點
①當斜率存在且不為0時,設直線,直線,即,
所以圓心到直線的距離為,所以直線被圓所截弦
由得, ,
所以,
,
所以,
令,則,
,
當,即時,等號成立,
故面積的最大值為,此時直線的方程為,
②當斜率為0時,即,此時,
當的斜率不存在時,不合題意;
綜上, 面積的最大值為,此時直線的方程為.
考點：直線與圓的位置關系,弦長公式,換元法求函數最值.