Question

已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標原點，且與以點A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個頂點A′與點A關于直線y=x對稱.設直線l過點A，斜率為k.

（1）求雙曲線S的方程；

（2）當k=1時，在雙曲線S的上支上求點B，使其與直線l的距離為；

（3）當0≤k＜1時，若雙曲線S的上支上有且只有一個點B到直線l的距離為，求斜率k的值及相應的點B的坐標，如圖.

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）由已知可得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，A′（0，）． 雙曲線S的方程為＝1 （2）設B（x，）是雙曲線S到直線l：y＝x－的距離為的點，由點到直線距離公式有． 解得x＝，y＝2，即B（，2） （3）當0≤k＜1時，雙曲線S的上支在直線l的上方，所以B在直線l的上方，設直線l′與直線l：y＝k（x－）平行，兩線間的距離為，且直線l′在直線l的上方，雙曲線S的上支上有且僅有一個點B到直線l的距離為，等價于直線l′與雙曲線S的上支有且只有一個公共點. 設l′的方程為y=kx+m 由l上的點A到l′的距離為， 可知． 解得m＝（k）． 因為直線l′在直線l的上方，所以M＝（k）． 由方程組 消去y，得（k2－1）x2＋2mkx＋m2－2＝0， 因為k2≠1，所以 Δ＝4m2k2－4（k2－1）（m2－2）＝4（－2＋2k2）＝8k（3k－2）． 令Δ＝0，由0≤k＜1，解得k＝0，k＝． 當k=0時，m=，解得x=0，y=． 此時點B的坐標為（0，）； 當k＝時，M＝，解得x＝2，y＝．此時點B的坐標為（2，）.