Question

已知f(x)=|sinkx|+|coskx|(k∈N^*)

(1)求這個函數的最小正周期;

(2)試求f(x)的最大值和最小值；

(3)試求最小正整數k,使當自變量x在任意兩個整數間(包括整數本身)變化時,函數f(x)至少有一個最大值，一個最小值.

Answer 1

思路分析：求f(x)這一非常規函數的周期，可以先找再證，而對函數的最大值及其他性質只需在一個周期內研究.

解：（1）顯然,,都是這個函數的周期，現證明是這個函數的最小正周期，設0＜T＜是這個函數的周期，則有

|sink(x+T)|+|cosk(x+T)|=|sinkx|+|coskx|對任意x∈R都成立，令x=0,有|sinkT|+|coskT|=1,

∵0＜T＜,

∴sinkT+coskT=1,

即sin(kT+)=1，①

又＜kT+＜π，

∴＜sin(kT+)＜1，

∴1＜sin(kT+)＜.②

①與②矛盾，因此為最小正周期.

（2）當0≤x＜時，f(x)=|sinkx|+|coskx|=sinkx+coskx=sin(kx+),故x=0時，

f(x)_min=1,x=時，f(x)_max=.

(3)要使f(x)取得最大和最小值，x的變化范圍至少包含一個周期，而任意兩個整數至少相離1個單位，故≤1,k≥,故k=2為符合條件的最小正整數.