Question

已知a是不為零的常數，二次函數g（x）=ax²-x的定義域為R，函數y=g（x-4）為偶函數．函數f（x）=ax²+x的定義域為[m，n]（m＜n）．
（1）求a的值；
（2）當m=0、n=12時，求函數f（x）的值域；
（3）是否存在實數m、n，使函數f（x）的值域為[3m，3n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于函數y=g（x-4）為偶函數，其對稱軸是y軸，則二次函數的一次項系數為0，得從而求得a；
（2）由（1）知，函數f（x）的解析式，問題即轉化為二次函數在閉區間上的最值問題；
（3）由（1）中函數的解析式，我們根據f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]，對參數m，n分類討論，判斷出函數在[m，n]的單調性，進而構造出滿足條件的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：（1）由于g（x-4）=a（x-4）²-（x-4）=ax²-（8a+1）x+16a+4，
由y=g（x-4）為偶函數，
則二次函數的一次項系數為0，知-（8a+1）=0，
∴a=-

1

8

．                                              
（2）f（x）=-

1

8

x2+x=-

1

8

(x-4)2+2，對稱軸為直線x=4．   
當m=0、n=12時，定義域為[0，12]．
在[0，4]上f（x）遞增，此時函數值的集合為[f（0），f（4）]，即[0，2]；
在[4，12]上f（x）遞減，此時函數值的集合為[f（12），f（4）]，即[-6，2]；
所以，當m=0、n=12時，函數f（x）的值域為[-6，2]．                  
（3）存在實數m、n，使函數f（x）的值域為[3m，3n]．討論如下：
①當n≤4時，函數f（x）在[m，n]遞增，則函數值域為[f（m），f（n）]，
則

f(m)=- 1 8 m2+m=3m f(n)=- 1 8 n2+n=3n

，
即m、n是方程-

1

8

x2+x=3x的兩根，而方程-

1

8

x2+x=3x的兩根是0、-16，
所以由m＜n，得，m=-16、n=0．       
②當n＞4時，
若m≤4，函數的最大值為f（4）=2=3n，則n=

2

3

，相互矛盾．     
若m＞4，函數f（x）在[m，n]遞減，則函數值域為[f（n），f（m）]，
故

f(m)=- 1 8 n2+n=3m f(n)=- 1 8 m2+m=3n

．
兩式相減后，變形得（m-n）（m+n-32）=0，而m-n＜0，
所以，m+n-32=0，即n=32-m，
代入-

1

8

m2+m=3n得m²-32m+768=0，此方程無實解，此時不存在m、n． 
綜上所述，存在實數m=-16、n=0，使函數f（x）的值域為[3m，3n]．

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，其中（1）的關鍵是由已知條件構造關于a，b的方程組，（2）與（3）的關鍵是根據函數的值域判斷出函數在[m，n]的單調性，進而構造出滿足條件的方程．