Question

如圖10-20，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點.

       圖10-20

(1)證明：AD⊥D₁F；

(2)求AE與D₁F所成的角；

(3)證明：面AED⊥面A₁FD₁；

(理)(4)設AA₁＝2，求三棱錐F-A₁ED₁的體積V

Answer 1

(1)；

圖10-53

(2)如圖10-53，取AB中點G，連A₁G、FG，因為F是CD中點，所以CFAD，又A₁D₁AD，

所以GFA₁D₁，故GFD₁A₁是平行四邊形，A₁G∥D₁F.

 

設A₁G與AE交于點H，則∠AHA₁是AE與D₁F所成的角，因E是BB₁中點，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE， 

∠GA₁A＝∠GAH，從而∠AHA₁＝90°，即直線AE與D₁F所成角為直角.

 

(3)由(1)知AD⊥D₁F，由(2)知AE⊥D₁F，又AD∩AE＝A，所以D₁F⊥面AED，又D₁F面A₁FD₁，所以面AED⊥面A₁FD₁.

(理)(4)連GE、GD₁，因為FG∥A₁D，所以FG∥面A₁ED₁，

所以體積VF－A₁ED₁＝VG－A₁ED₁＝VD₁－A₁GE，因為AA₁＝2，

 

所以面積S＝S_{平行四邊形}－2S－S_△GBE＝

 

所以V＝V＝·A₁D₁·S＝×2×＝1.

評述：本題主要考查棱柱的概念、兩異面直線的垂直、異面直線所成的角、兩平面垂直等能力方面主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力此題中的四個小問題層層深入，由(1)的證明線線垂直到(2)中用到了線面垂直，而證得(3)中的面面垂直，最后在(4)中求體積脈絡清楚，考查立幾知識較全面注意在后一小問題中用到前面小題的結論這在立幾大題中經常出現求體積過程中對三棱錐的頂點和底面作了靈活的轉換，使計算簡單，這也是求三棱錐體積的常用方法.