設數組A：{a1，a2，…，an}與數組B：{b1，b2，…，bn}，A與B中的元素不完全相同，分別從A、B中的n個元素中任取m（m≤n）個元素作和，各得Cnm個和．若由A得到的Cnm個和與由B得到的Cnm個和恰好完全相同，則稱數組A與B是n元中取m的全等和數組，簡記為DHnm數組．
（1）判斷數組A：{5，15，25，45}與B：{0，20，30，40}是否為DH42數組？
（2）若數組A：{a1，a2，…，an}與數組B：{b1，b2，…，bn}是DHnm數組（m≤n），求證：數組A與B一定是DHnn數組
（3）給定數組A：{a1，a2，a3，a4}，其中a1≤a2≤a3≤a4，問是否存在數組B，使得數組A與B為DH42數組？若存在，則求出數組B；若不存在，請說明理由．
【答案】
分析：（1）在數組A：{5，15，25，45}中任取兩個數求和，可得20，30，40，50，60，70，同樣在B：{0，20，30，40}中任取兩個數求和，可得20，30，40，50，60，70，故A與B為DH
42數組
（2）求證數組A與B一定是DH
nn數組，即求證a
1+a
2+…a
n=b
1+b
2+…b
n，由數組A：{a
1，a
2，…，a
n}與數組B：{b
1，b
2，…，b
n}是DH
nm數組，則由A得到的C
nm個和與由B得到的C
nm個和恰好完全相同，由此可證
（3）假設存在數組B：{b
1，b
2，b
3，b
4}（不妨設b
1≤b
2≤b
3≤b
4）與A是DH
42數組，則有a
1+a
2=b
1+b
2、a
1+a
3=b
1+b
3、a
2+a
4=b
2+b
4、a
3+a
4=b
3+b
4不妨設b
1=a
1-q則b
2=a
2+q，b
3=a
3+q，b
4=a
4-q 故
，若q=0，則存在唯一數組B，否則不存在
解答：解：（1）A中C
42個和為：20，30，40，50，60，70B中C
42個和為：20，30，40，50，60，70
∴A與B為DH
42數組
（2）證明：從A中任取m個元素作和共得C
nm個數，再將C
nm個數作和記為S，
在C
nm個數中a
1、a
2、…、a
n都分別出現了C
n-1m-1次，故S=C
n-1m-1（a
1+a
2+…a
n）
同樣從B中任取m個元素作和共得C
nm個數，這些數的和為S'，S'=C
n-1m-1（b
1+b
2+…b
n）
顯然S=S'∴a
1+a
2+…a
n=b
1+b
2+…b
n即A與B為DH
nn數組
（3）假設存在數組B：{b
1，b
2，b
3，b
4}（不妨設b
1≤b
2≤b
3≤b
4）與A是DH
42數組，
則有a
1+a
2=b
1+b
2、a
1+a
3=b
1+b
3、a
2+a
4=b
2+b
4、a
3+a
4=b
3+b
4不妨設b
1=a
1-q則b
2=a
2+q，b
3=a
3+q，b
4=a
4-q
從而a
2+a
3=b
1+b
4（不能等于b
2+b
3否則q=0與題意不符）
故
①a
1+a
4≠a
2+a
3，則一定存在唯一數組B：{a
1-q，a
2+q，a
3+q，a
4-q}
（其中
）與A是DH
42數組
②a
1+a
4=a
2+a
3，則不存在數組B與A是DH
42數組．
點評：本題考查了排列與組合的應用，屬新定義型創新題，解答難度較大，解題時首先要理解題意，然后根據要求用分析法分析，綜合法寫出解題過程
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