Question

【題目】已知函數().

(Ⅰ)若在處的切線過點，求的值；

(Ⅱ)若恰有兩個極值點，().

(ⅰ)求的取值范圍；

(ⅱ)求證：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (ⅰ) (ⅱ)見證明

【解析】

(Ⅰ)對函數進行求導，然后求出在處的切線的斜率，求出切線方程，把點代入切線方程中，求出的值；

(Ⅱ) (ⅰ) ，，，分類討論函數的單調性；

當時，可以判斷函數沒有極值，不符合題意；

當時，可以證明出函數有兩個極值點，，故可以求出的取值范圍；

由(ⅰ)知在上單調遞減，，且，

由得，，又，

.

法一：先證明（）成立，應用這個不等式，利用放縮法可以證明出成立；

法二：令()，求導，利用單調性也可以證明出

成立.

解:(Ⅰ)，

又

在處的切線方程為，即

切線過點，

(Ⅱ)(ⅰ) ，，，

當時，，在上單調遞增，無極值，不合題意，舍去

當時，令，得，()，

或;，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，恰有個極值點，，符合題意，

故的取值范圍是

(ⅱ)由(ⅰ)知在上單調遞減，，且，

由得，，又，

法一:下面證明（），令（），，

在上單調遞增，，即（），

，

綜上

法二:令()，則，

在上單調遞增，，即，

綜上