Question

設f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間．
（Ⅱ）求極值點與極值．

Answer 1

分析：（I）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間．
（II）令導函數等于0求出x的值，根據x的值分區間討論導函數的正負，進而得到函數的單調區間，得到函數的極大值和極小值．

解答：解：（I）f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5，f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）＞0即3x²-x-2＞0解得x∈（-∞，-

2

3

）∪（1，+∞）
令f′（x）＜0即3x²-x-2＜0解得x∈（-

2

3

，1），
故函數在(-∞，-

2

3

)，（1，+∞）上為單調遞增區間，在(-

2

3

，1)上為單調遞減區間．
（II）由f′（x）=0，即3x²-x-2=0解得x=-

2

3

或x=1，
當x變化時，f′（x），f（x）的變化如下表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值 157 27	↓	極小值 7 2	↑

∴當x=1時，f（x）取得極小值

7

2

，當x=-

2

3

時，f（x）取得極大值

157

27

．

點評：本題考查了函數的單調性，會利用導函數的正負判斷函數的單調性并根據函數的增減性得到函數的極值．利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定函數的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數的單調區間．