Question

已知y=f（x）是R上的偶函數，對于x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-4）=-2，當x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．則給出下列命題：
①f（2008）=-2；
②函數y=f（x）圖象的一條對稱軸為x=-6；
③函數y=f（x）在[-9，-6]上為減函數；
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4個根．
其中正確的命題序號是

①②③④

．

Answer 1

分析：①根據題意可判斷出f（x）是以6為周期的函數，從而得到f（2008）=-2；利用函數y=f（x）是偶函數與周期為6的周期函數可判斷②正確；利用函數的奇偶性與單調性、周期性可作出[-9，9]上的圖象，根據圖象可判斷③④的正誤．

解答：解：∵對于x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-4）=-2，
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3），
∴f（3）=0；
∴f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），
∴f（x）是以6為周期的函數，
∴f（2008）=f（334×6+4）=f（4）=-2，故①正確；
由f（x+6）=f（x）=f（-x）得：
f（12-x）=f[6+（6-x）]=f（6-x）=f（-x）=f（x），
∴x=6是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，從而x=-6是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，故②正確；
又當x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴f（x）為[0，3]上的增函數，又y=f（x）是R上的偶函數，
∴f（x）為[-3，0]上的減函數，其圖象關于原點對稱．
作出函數y=f（x）的圖象如圖：
由圖象可得③函數y=f（x）在[-9，-6]上為減函數，正確；
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4個根是正確的．
故答案為：①②③④

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數的奇偶性、單調性及周期性的綜合應用，體現數形結合思想的巨大作用，屬于難題．